Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x₁，x₂∈R，存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若，求L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①证明：；
②令，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，可得≤L|x₁-x₂|，从而当x₁≠x₂时，得L≥，进而有L≥1，当x₁=x₂时，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立，故问题得解；
（2）①由于a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，所以当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，从而≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|=|．所以问题可证
②由A_k=，表达出|
=|，再利用①的结论可解．
解答：解：（1）证明：对任意x₁，x₂∈R，有
|=|=．…2分
由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，即≤L|x₁-x₂|．
当x₁≠x₂时，得L≥．
∵|，且|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|，
∴≤1．…4分
∴要使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|对任意x₁，x₂∈R都成立，只要L≥1．
当x₁=x₂时，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立．
∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分
（2）证明：①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
∴≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=|．
∵0＜L＜1，∴（当n=1时，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=，
∴|
=|
=|
≤． …11分
∴


=
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤|．…14分
点评：本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识