Question

（2012•黔东南州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°，AD=

2

．
（Ⅰ）证明：AD⊥PC；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明线线垂直，可证线面垂直，即AD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得

PD

=(-1，1，-2)，平面PBC的法向量

n

=(1，0，1)，利用向量的夹角公式，即可求得PD与平面PBC所成的角为

π

3

．

解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD
∵∠DAC=90°，∴AD⊥AC
∵PA∩AC=A
∴AD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴AD⊥PC
（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，则P（0，0，2），D（-1，1，0），B（2，0，0），C（2，2，0）
∴

PD

=(-1，1，-2)，

BC

=(0，2，0)，

PB

=(2，0，-2)
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），由

n • BC =0 n • PB =0

，可得

2y=0 2x-2z=0

，取

n

=(1，0，1)
则cos＜

n

，

PD

＞=

PD • n

| PD || n |

=-

3

2

…（11分）
∴PD与平面PBC所成的角为

π

3

．                   …（12分）

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确利用向量法求解线面角．