Question

（本小题满分16分）

设数列{a_n}满足：a₁＝1，a₂＝2，a_n＋2＝(n≥1，nÎN*)．

（1）求证：数列{}是常数列；

（2）求证：当时，2＜a－a≤3；

（3）求a₂₀₁₁的整数部分．

Answer 1

（1）易知，对一切n≥1，a_n≠0，由a_n＋2＝，得＝．

依次利用上述关系式，可得

＝＝＝…＝＝＝1，

从而数列{}是常数列；                      ……………………………4分

（2）由（1）得a_n＋1＝a_n＋．

又a₁＝1，∴可知数列{a_n}递增，则对一切n≥1，有a_n≥1成立，

从而0＜≤1．                                ……………………………6分

当时，a_n²＝(a_n－1＋)²＝a_－1＋＋2，

于是a_n²－a_－1＝＋2，

∴ 2＜a－a≤3；                            ……………………………8分

（3）当时，a_n²＝a_－1＋＋2，

∴a＝＋…＋＋a＋2(n－1)．

a＝1，a＝4，则当n≥3时，

a＝＋…＋＋a＋2(n－1)＝＋…＋＋1＋1＋2(n－1)

＝＋…＋＋2n＞2n．

a＝＋…＋＋2(2011－1)＋1＞4021＞3969＝63²，  ……………………10分

a＝＋…＋＋2(2011－1)＋1＝4021＋＋…＋

＜4020＋＋＋＋…＋＝4022＋(＋＋…＋)

＝4022＋[(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)]

＜4022＋[(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)]

＝4022＋(×38＋×160＋…＋×1811)

＜4022＋(19＋4＋10)＜4039＜4096＝64²．        ……………………14分

∴63＜a₂₀₁₁＜64，即a₂₀₁₁的整数部分为63．           ……………………16分