题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ ，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，则当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为________．

$\text{[math]}$
分析：画出函数的图象，利用函数的图象的对称性，结合对字母a进行分类讨论，不难推出结论．
解答：

解：当a＞0时，作出两个函数的图象，如图，
则当b∈（0，1）时，函数f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）=ax²+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点，故考虑当b=1时，两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，如图．
由方程 $\text{[math]}$ =ax²+x，得ax³=1-x²，两边求导，得3ax²=-2x，∴a=- $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ×x³=1-x²，解得x= $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
结合图象可知，当a＞0时，
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
同理，当a＜0时，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
当b∈（0，1）时，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$ ；
又当a=0时，函数f（x）= $\text{[math]}$ ，g（x）=bx，的图象有且仅有两个不同的公共点．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断，利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．

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设函数f（x）=alnx，g(x)=

x2．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x₀，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

成立，求a的取值范围．

设函数f（x）的定义域为D，若x₀∈D，且满足f（x₀）=-x₀，则称x₀是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=log₂x与g（x）=2^x的所有次不动点之和为S，则（　　）

（2013•湖州二模）设函数f（x）=

，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0），若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（　　）

A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0

B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

C．当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0

D．当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0

（2012•杭州二模）设函数f（x）=lnx，g(x)=

x2．
（Ⅰ）设函数F(x)=f(x)-

g(x)，求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数G(x)=

，当x∈（1，t]时，都有tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求实数t的最大值．

设函数f（x）=

x³，g（x）=-x²+ax-a²（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=3处的切线与曲线y=g（x）相切，求a的值；
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