Question

已知函数f(x)=log_A是奇函数（A>0，A≠1）.

（1）求m的值；

（2）判断f(x)在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；

（3）当A>1，x∈(r,A－2)时，f(x)的值域是（1，+∞），求A与r的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）m=－1. （2）由（1），得f(x)=logA（A>0，A≠1）. 任取x1，x2∈(1,+∞)，设x1<x2，令t(x)=，则t(x1)=，t(x2)=. ∴t(x1)－t(x2)=－=. ∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0. ∴t(x1)>t(x2)，即>. ∴当A>1时，logA>logA，f(x)在（1，+∞）上是减函数； 当0<A<1时，f(x)在（1，+∞）上是增函数. （3）当A>1时，要使f(x)的值域是（1，+∞），则logA>1， ∴>A，即>0. 而A>1，∴上式化为<0.        ① 又f(x)=logA=logA(1+)，∴当x>1时，f(x)>0；当x<－1时，f(x)<0. 因而，欲使f(x)的值域是（1，+∞），必须x>1.所以对不等式①，当且仅当1<x<时成立. ∴解得r=1，A=2+.