题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 $数学公式$ ，a+b=5，c= $数学公式$ ，则△ABC的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：把已知等式左边第一项与第二项分别利用二倍角的余弦函数公式化简，再由诱导公式及三角形的内角和定理得到cos（A+B）=-cosC，代入化简后的式子中，得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，然后由余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式变形后，将c，a+b及cosC的值代入，求出ab的值，由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，
∴2[1-cos（A+B）]-2cos²C+1= $\text{[math]}$ ，
又cos（A+B）=-cosC，
∴2（1+cosC）-2cos²C+1= $\text{[math]}$ ，
整理得：（2cosC-1）²=0，
解得：cosC= $\text{[math]}$ ，
又C为三角形的内角，
∴C=60°，又a+b=5，c= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
即7=25-3ab，解得：ab=6，
则△ABC的面积S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ．
故选B
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．