Question

在数列{a_n}中，a1=8，an+1=(1+

1

n+1

) an+(n+2)(2n+3)，(n∈N*)，
（1）设bn=

an

n+1

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

bn+1

bn-1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）将已知等式的两边同时除以n+2，得到

an+1

n+2

-

an

n+1

=2n+3即b_n+1-b_n=2n+3，利用逐差相加法求出数列{b_n}的通项公式；
（2）求出cn=

bn+1

bn-1

=1+

1

n

-

1

n+2

，利用裂项相消的方法求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）因为a1=8，an+1=(1+

1

n+1

) an+(n+2)(2n+3)，(n∈N*)，
所以

an+1

n+2

-

an

n+1

=2n+3
所以b_n+1-b_n=2n+3
所以b₂-b₁=5
b₃-b₂=7
…
b_n-b_n-1=2n+3
相加得
b_n=（n+1）²
（2）cn=

bn+1

bn-1

=1+

1

n

-

1

n+2

所以前n项和S_n=n+(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)…+( 

1

n

-

1

n+2

)
=n+1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

点评：求数列的前n项和的方法，应该先求出数列的通项，利用通项的特点选择合适的求和方法．