题目内容

已知函数f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）设函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为m（a），求m（a）的表达式；
（3）若a=4，证明：方程f（x）+ $数学公式$ =0有两个不同的正数解．

解：（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；
a≠0时，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²-ax=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
函数f（x）图象的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；
当0 $\text{[math]}$ ，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上是减函数，在[ $\text{[math]}$ ，2]上是增函数，
所以m（a）=f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ ，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，

所以m（a）=f（2）=4-2a．
综上，m（a）= $\text{[math]}$ ．
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）= $\text{[math]}$ ，方程可化为 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，h（x）=-x²+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．
因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，
函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+ $\text{[math]}$ =0有两个不同的正数解．
分析：（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x²-ax=（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，函数f（x）图象的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．
（3）若a=4，则x＞0时，f（x）= $\text{[math]}$ ，方程可化为 $\text{[math]}$ ．令 $\text{[math]}$ ，h（x）=-x²+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+ $\text{[math]}$ =0有两个不同的正数解．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数最小值的求法，证明方程有两个不同的正数解．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和数形结合思想的灵活运用．