题目内容

已知抛物线y²=2x，设点A的坐标为（ $数学公式$ ，0），则抛物线上距点A最近的点P的坐标为

A.
（0，0）
B.
（0，1）
C.
（1，0）
D.
（-2，0）

A
分析：先假设点P的坐标，然后根据两点间的距离公式表示出点P、A的距离|PA|，然后将抛物线y²=2x代入消去y，得到关于x的一元二次函数，根据x的范围和一元二次函数的性质可得到点P的坐标．
解答：设曲线上距点A最近的点P的坐标为（x，y），则
|PA|²=（x- $\text{[math]}$ ）²+y²=（x- $\text{[math]}$ ）²+2x=x²+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=（x+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∵y²=2x的定义域为x≥0，∴当x=0时，|PA|²获得最小值 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故此时P的坐标为（0，0）．
故选A．
点评：本题主要考查抛物线的基本性质和两点间的距离公式的应用．考查基础知识的综合应用和灵活能力．

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已知抛物线y²=2x，设点A的坐标为（

，0），则抛物线上距点A最近的点P的坐标为（　　）

A、（0，0）

B、（0，1）

C、（1，0）

D、（-2，0）

已知抛物线y²=2x．
（1）在抛物线上任取二点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），经过线段P₁P₂的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P₃，证明△P₁P₂P₃的面积为

|y1-y2|3；
（2）经过线段P₁P₃、P₂P₃的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q₁、Q₂，试将△P₁P₃Q₁与△P₂P₃Q₂的面积和用y₁，y₂表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P₁P₂与抛物线所围成的图形的面积．

已知抛物线y²=2x，设A，B是抛物线上不重合的两点，且

，O为坐标原点．
（1）若|

|，求点M的坐标；
（2）求动点M的轨迹方程．

已知抛物线y²=2x，过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为A₁、A₂，A₁F=3，A₂F=2，则A₁A₂=

已知抛物线y²=2x，
（1）设点A的坐标为(

，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x-y+3=0的距离最短，并求出距离的最小值．