题目内容

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
（1）若 $数学公式$ ，求∠A的大小．
（2）若三角形为非等腰三角形，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）∵acsinC=（a²+c²-b²）sinB
∴ $\text{[math]}$ …（2分）
由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）
因此，C=2B或C+2B=π…（4分）
（i）若C=2B，结合 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …（5分）
（ii）若C+2B=π，结合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）∵三角形为非等腰三角形，
∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B
由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分）
又∵三角形为锐角三角形，∴ $\text{[math]}$
因此，可得 $\text{[math]}$ …（10分）
而 $\text{[math]}$ …（12分）
∵cosB∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）将已知等式变形，整理得 $\text{[math]}$ ，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后结合三角形内角和定理和 $\text{[math]}$ ，即可算出∠A的大小．
（2）根据三角形为非等腰三角形，结合（1）中化简的结果可得C=2B，从而将 $\text{[math]}$ 化简整理得 $\text{[math]}$ ．利用△ABC是锐角三角形，得到B∈（ $\text{[math]}$ ），结合余弦函数的图象与性质，即可得出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题给出三角形中的边角关系，要求我们判断角A的大小并求 $\text{[math]}$ 的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形内角和定理与余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．