Question

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
（1）若∠C=

π

4

，求∠A的大小．
（2）若三角形为非等腰三角形，求

c

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将已知等式变形，整理得

sinC

sinB

=2cosB，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后结合三角形内角和定理和∠C=

π

4

，即可算出∠A的大小．
（2）根据三角形为非等腰三角形，结合（1）中化简的结果可得C=2B，从而将

c

b

化简整理得

c

b

=2cosB．利用△ABC是锐角三角形，得到B∈（

π

6

，

π

4

），结合余弦函数的图象与性质，即可得出

c

b

的取值范围．

解答：解：（1）∵acsinC=（a²+c²-b²）sinB
∴

sinC

sinB

=

a2+c2-b2

ac

=2×

a2+c2-b2

2ac

=2cosB…（2分）
由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）
因此，C=2B或C+2B=π…（4分）
（i）若C=2B，结合∠C=

π

4

，可得∠B=

π

8

，所以∠A=

5π

8

…（5分）
（ii）若C+2B=π，结合∠C=

π

4

，则∠B=

1

2

(π-

π

4

)=

3π

8

，可得∠A=

3π

8

…（6分）
（2）∵三角形为非等腰三角形，
∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B
由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分）
又∵三角形为锐角三角形，∴0＜2B＜

π

2

，0＜π-3B＜

π

2

因此，可得 

π

6

＜∠B＜

π

4

…（10分）
而 

c

b

=

sinC

sinB

=2cosB…（12分）
∵cosB∈（

2

2

，

3

2

），∴可得

c

b

=2cosB=

c

b

∈(

2

，

3

)…（14分）

点评：本题给出三角形中的边角关系，要求我们判断角A的大小并求

c

b

的取值范围．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形内角和定理与余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．