Question

15．已知集合A={x|x²-x＜0}，B={x|x²+2mx+2m+1≤0}
（1）若A∩B=A，则m∈（-∞，$-\frac{1}{2}$]
（2）若A∪B=A，则m∈$（-\frac{1}{2}，1-\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 由题意和一元二次不等式的解法求出集合A，
（1）由A∩B=A得A⊆B，再根据二次函数的图象及性质列出不等式组，求出m的范围；
（2）由A∪B=A得B⊆A，再根据二次函数的图象及性质列出不等式组，求出m的范围．

解答 解：由题意得，A={x|x²-x＜0}=A={x|0＜x＜1}，
（1）由A∩B=A得A⊆B，又B={x|x²+2mx+2m+1≤0}，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{2m+1≤0}\\{1+2m+2m+1≤0}\end{array}\right.$，解得m$≤-\frac{1}{2}$，
所以m∈（-∞，$-\frac{1}{2}$]；
（2）由A∪B=A得B⊆A，又B={x|x²+2mx+2m+1≤0}，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{0＜-\frac{m}{2}＜1}\\{2m+1＞0}\\{1+2m+2m+1＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{2}＜$m$＜1-\sqrt{2}$，
所以m∈$（-\frac{1}{2}，1-\sqrt{2}）$，
故答案为：（1）（-∞，$-\frac{1}{2}$]；（2）$（-\frac{1}{2}，1-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查交、并集及其运算，二次方程根的分布问题，以及二次函数的图象及性质，属于中档题．