Question

（1）（理）若c=2，a，b是从{1，2，3，4，5，6}中任取的两个数（a，b可以相等），求a，b，c能构成三角形的概率；
（2）（理）若a，b是从（0，6）中任取的两个数（a，b可以相等），求构成以a，b为直角边，且c＜4

3

的直角三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）把（a，b）看成一个基本事件，则基本事件总数有36个，满足条件满足

a+b＞2 |a-b|＜1

或

a+b＞2 |a-b|=0

的基本事件有15个，这15个都能构成三角形，最后利用等可能事件的概率公式得到能构成三角形的概率．
（2）a，b，c能构成满足题意的直角三角形的充要条件是 0＜a²+b²＜48，0＜a＜6，0＜b＜6，在坐标系aob内画出满足以上条件的区域，如图所示，根据几何概型的计算方法即可求得结果．

解答：解：（1）（理）满足不等式组

a+b＞2 |a-b|＜2

，
即满足

a+b＞2 |a-b|=1

或

a+b＞2 |a-b|=0

的有：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）共15个．
所以a，b，c能构成三角形的概率为

15

36

=

5

12

；
（2）（理）（a，b）可以看成平面中的点．
试验的全部结果所构成的区域为U={（a，b）|0＜a＜6，0＜b＜6}，
这是一个正方形区域，面积为S_U=6×6=36．
记“a，b，c能构成三角形”为事件A，
则构成事件A的区域A={（a，b）|0＜a²+b²＜48，0＜a＜6，0＜b＜6}，
它表示的区域为图中阴影部分，其中OA=6，OB=4

3

，∴∠AOB=30，
同样，∠DOC=30°∴∠BOC=30°，
∴A的面积
=2S_△OAB+S_扇形OBC
=2×

1

2

×OA×AB+

30

360

×OB2×π
=6×2

3

+

1

12

×(4

3

)2×π
=12

3

+4π．
由几何概型，
所以P（A）=

4π+12 3

36

=

π+3 3

9

．

点评：本题考查古典概型和几何概型的概率．几何概型估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．属中档题．