Question

如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

．椭圆C以A、B为焦点且经过点D
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．
（理）若点E满足

EC

=

1

2

AB

，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，求出对应的点A，D，B，C的坐标，再利用椭圆C以A、B为焦点且经过点D
得到关于a，b，c之间的关系式，求出a，b，c即可．
（2）（文）先假设直线存在，把直线方程设出来，再与椭圆C的方程联立，利用点差法和中点坐标公式求出直线的斜率，再检验是否符合要求即可．
（理）先求出点E的坐标，再假设直线存在，把直线方程设出来与椭圆C的方程联立，得到关于点M、N的坐标的方程．①又因为|ME|=|NE|，可得点E在MN的中垂线上，与①想结合可得结论．

解答：解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，?A（-1，0），B（1，0）

设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1
令x=C?y₀=

b2

c

∴

C=1 b2 a = 3 2

?

a=2 b= 3

∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）（文）l⊥AB时不符合，
∴设l：y-

1

2

=k（x-1）（k≠0）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）?

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1?

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0
∵

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 = 1 2

∴

y1-y2

x1-x2

=-

3×3

4×1

=-

3

2

，即k=-

3

2

，
∴l：y-

1

2

=-

3

2

（x-1），即y=-

3

2

x+2，经验证：l与椭圆相交，
∴存在，l与AB的夹角是arctan

3

2

，．
（理）

EC

=

1

2

AB

?E（0，

1

2

），l⊥AB时不符，
设l：y=kx+m（k≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

?（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
M、N存在?△＞0?64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0?4k²+3＞m²
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀）
∴x₀=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

|ME|=|NE?|MN⊥EF
?

y0- 1 2

x0

=-

1

k

?

3m 3+4k2 - 1 2

- 4km 3+4k2

=-

1

k

?m=-

3+4k2

3

∴4k²+3＞(-

3+4k2

2

)2
∴4k²+3＜4
∴0＜k^2＜1
∴-1＜k＜1且k≠0
∴l与AB的夹角的范围是（0，45°）．

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．在求以某一定点为中点的弦的方程时，一般方法是将弦的两端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后有点斜式得出弦的方程．