已知λ.μ为常数.且为正整数.λ≠1.无穷数列{an}的各项均为正整数.其前n项和为Sn.对任意的正整数n.Sn=λan-μ．记数列{an}中任意两不同项的和构成的集合为A．(1)证明:无穷数列{an}为等比数列.并求λ的值,(2)若2015∈A.求μ的值,(3)对任意的n∈N*.记集合Bn={x|3μ•2n-1＜x＜3μ•2n.x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，对任意的正整数n，S_n=λa_n-μ．记数列{a_n}中任意两不同项的和构成的集合为A．
（1）证明：无穷数列{a_n}为等比数列，并求λ的值；
（2）若2015∈A，求μ的值；
（3）对任意的n∈N*，记集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}中元素的个数为b_n，求数列{b_n}的通项公式．

分析（1）S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{λ}{λ-1}$=$1+\frac{1}{λ-1}$为正整数，即可得出正整数λ．
（2）由（1）可得：S_n=2a_n-μ，可得a_n=μ•2^n-1，因此A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，利用2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，可得i=1，即可得出j，μ．
（3）当n≥1时，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素个数，等价于满足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，即可得出．（n∈N^*）．

解答（1）证明：∵S_n=λa_n-μ．当n≥2时，S_n-1=λa_n-1-μ，
∴a_n=λa_n-λa_n-1，λ≠1，∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{λ}{λ-1}$，
∴数列{a_n}为等比数列，
∵各项均为正整数，则公比$\frac{λ}{λ-1}$=$1+\frac{1}{λ-1}$为正整数，λ为正整数，
∴λ=2．
（2）解：由（1）可得：S_n=2a_n-μ，当n=1时，a₁=μ，则a_n=μ•2^n-1，
∴A={μ（2^i-1+2^j-1）|1≤i＜j，i，j∈N^*}，
∵2015∈A，∴2015=μ（2^i-1+2^j-1）=μ•2^i-1（1+2^j-i）=5×13×31，
∵j-i＞0，则1+2^j-i必为不小于3的奇数，
∵2^i-1为偶数时，上式不成立，因此必有2^i-1=1，∴i=1，
∴μ（1+2^j-1）=5×13×31，
只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，
∴μ=31或403．
（3）解：当n≥1时，集合B_n={x|3μ•2^n-1＜x＜3μ•2ⁿ，x∈A}，
即3μ•2^n-1＜μ（2^i-1+2^j-1）＜3μ•2ⁿ，1≤i＜j，i，j∈N^*．B_n中元素个数，
等价于满足3×2ⁿ＜2ⁱ+2^j＜3×2ⁿ⁺¹的不同解（i，j），
若j＞n+2，则2ⁱ+2^j≥2ⁱ+2ⁿ⁺³=2ⁱ+4×2ⁿ⁺¹＞3×2ⁿ⁺¹，矛盾．
若j＜n+2，则2ⁱ+2^j≤2ⁱ+2ⁿ⁺¹≤2ⁿ+2ⁿ⁺¹=3×2ⁿ，矛盾．
∴j=n+2，又∵（2¹+2ⁿ⁺²）-3×2ⁿ=2+4×2ⁿ-3×2ⁿ=2+2ⁿ＞0，
∴3×2ⁿ＜2¹+2ⁿ⁺²＜2²+2ⁿ⁺²＜…＜2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=3×2ⁿ⁺¹，
即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B_n，
∴b_n=n（n∈N^*）．