Question

3．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ）=$\frac{6}{5}$，θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）先将函数式化简，再结合正弦曲线就单调区间；
（2）运用两角和的余弦公式求值．

解答 解：（1）f（x）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
要求函数的单调增区间，只需令2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，
解得x∈[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，
即f（x）的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
（2）f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，
所以，sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
又因为θ∈[0，$\frac{π}{4}$]，所以2θ-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
因此，cos（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
而cos2θ=cos[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=cos（2θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（2θ-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
即cos2θ=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，三角函数的图象和性质，属于中档题．