Question

设△ABC的三边BC=4pq，CA=3p²+q²，AB=3p²+2pq-q²，求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项．

Answer 1

分析：由BC，CA及AB的值，利用余弦定理表示出cosB的值，分子把第1和第3项结合利用平方差公式化简，然后分子提取4pq，约分化简后得到其值等于

1

2

，然后根据B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；然后表示出角C减角B，把B的度数代入并利用三角形的内角和定理即可得到值为角B减角A，得证．

解答：解：由余弦定理可得：
cosB=

AB2+BC2-CA2

2AB•BC

=

(3p2+2pq-q2) 2+(4pq)2-(3p2+q2) 2

2(3p2+2pq-q2)• 4pq

=

4pq(3p2+2pq-q2)

8pq(3p2+2pq-q2)

=

1

2

，
∴∠B=60°，
∵∠C-∠B=（180°-∠A-∠B）-∠B=60°-∠A
=∠B-∠A，
?∴∠B是∠A与∠C的等差中项．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握等差中项的意义及证明方法，是一道中档题．