题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．
【答案】分析：（I）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0可得f'（2）=0，然后解方程即可；
（II）先求f'（x）=0的值，然后当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表，最后根据表格求出函数的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x
令f'（x）=0得x1=0，x2=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
…（11分）
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
（II）先求f'（x）=0的值，然后当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表，最后根据表格求出函数的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x
令f'（x）=0得x1=0，x2=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
| x | -1 | （-1，0） | （0，2） | 2 | （2，3） | 3 | |
| f'（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | -2 | ↗ | 2 | ↘ | -2 | ↗ | 2 |
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|