Question

己知函数f(x)=Asin2(ωx+?)(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)，且y=f（x）最大值为2，其图象过点（1，2）且相邻两对称轴间的距离为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数的解析式，通过y=f（x）最大值为2，求出A；相邻两对称轴间的距离为2，求出函数的周期，得到ω；其图象过点（1，2）以及?的范围，求出?的值，得到函数的解析式．
（2）利用（1）求出函数在一个周期内的函数和的值，然后求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值，即可．

解答：解：（1）y=Asin2(ωx+?)=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2?)
又y的最大值为2，且A＞0，有

A

2

+

A

2

=2?A=2．
相邻两对称轴间距为2，即

T

2

=2?T=4?

2π

2ω

=4（ω＞0），则ω=

π

4

f（x）过点（1，2），代入有cos(

π

2

+2?)=-1 ?

π

2

+2?=2kπ+π(k∈Z)??=kπ+

π

4

，又?∈(0，

π

2

)，∴?=

π

4

，则f(x)=1+sin

π

2

x；（6分）
（2）由（1）f(x)=1+sin

π

2

x，有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，f（4）=1，
又y=f（x）的周期为4，且2011=4×502+3
故f（1）+f（2）++f（2011）=4×502+f（1）+f（2）+f（3）=2011．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数三角形的确定，周期的应用，考查计算能力，转化思想的应用，常考题型．