题目内容

已知函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）的最小正周期为2，且当x= $数学公式$ 时，f（x）取得最大值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x+ $数学公式$ ）的单调递增区间，并指出该函数的图象可以由函数y=2sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
（3）在闭区间[ $数学公式$ ]上是否存在f（x）的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，则说明理由．

解：（1）∵函数f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常数，且ω＞0）
∴ $\text{[math]}$
而f（x）的最小正周期为2，，∴ $\text{[math]}$ ，即ω=π
又当 $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值2，
∴ $\text{[math]}$
而A、B非零，由此解得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
（2）由（1）知： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$
得： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 的单调递增区间为 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 的图象可由y=2sinx，x∈R的图象先向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍而纵坐标不变得到．
（3）∵ $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值，
∴其对称轴方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先利用两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后将点（ $\text{[math]}$ ，2）代入原函数即可解得A、B的值
（2）先求得函数 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 看做整体代入正弦函数的单调增区间，即可得此函数的单调增区间，再利用函数图象平移和伸缩变换理论写出变换过程即可
（3）因为 $\text{[math]}$ ，先求 $\text{[math]}$ 的范围，与正弦函数图象的对称轴对照即可得此函数的对称轴
点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式的运用，函数图象的平移和伸缩变换，整体代入的思想方法