Question

在△ABC中，cosA=

5

5

，cosB=

10

10

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设AB=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：在△ABC中，①要求角C，就要求出角C的某个三角函数值．由于0＜C＜π，因此求出角C余弦值，而不能求正弦值（在这个范围内无法排除角C是锐角还是钝角）．已知角A，B的余弦，利用同角三角函数基本关系可求得A，B的正弦，再利用cosC=-cos（A+B）求得；
②要求△ABC的面积，根据已知条件只需求出BC或AC的长即可．由正弦定理求得BC或AC，再利用三角形的面积公式求得．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=

5

5

，cosB=

10

10

，得A、B∈(0，

π

2

)，
所以sinA=

2

5

，sinB=

3

10

.（3分）
因为cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

2

2

，（6分）
且0＜C＜π，故C=

π

4

.（7分）
（Ⅱ）解：根据正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

?AC=

AB•sinB

sinC

=

6

10

，（10分）
所以△ABC的面积为

1

2

AB•AC•sinA=

6

5

.（12分）

点评：在解决由已知条件求角的问题是要注意所求角的范围，再选择求出所求角的某一个三角函数值．