Question

如图，三块土地的总面积为30．求S₁的最大值及取得最大值时x、y的值．

Answer 1

分析：法一，由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．消去y得y=

30-x

x+2

，从而S₁=xy=

(30-x)x

x+2

=34-[（x+2）+

64

x+2

]
再利用基本不等式求最大值．
法二，由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．根据基本不等式可得，2y+x≥2

2y•x

=2

2

xy

，所以xy+2y+x=30≥xy+2

2

xy

，解关于

xy

的不等式可求出S₁的取值范围以及最大值．

解答：解：法一∵S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．
∴y=

30-x

x+2

S₁=xy=

(30-x)x

x+2

=34-[（x+2）+

64

x+2

]
（x+2）+

64

x+2

≥2

64

=16（当且仅当x=6时取等号）
∴S₁≤34-16=18              
∴当x=6，y=3时，S₁最大为18．
法二：由已知，S₁+S₂+S₃=xy+2y+x=30．
根据基本不等式可得，2y+x≥2

2y•x

=2

2

xy

，
所以xy+2y+x=30≥xy+2

2

xy

，
令

xy

=t（＞0），则上述不等式为t²+2

2

t-30≤0，
解得0＜t＜3

2

，∴0＜xy＜18，
当且仅当2y=x，即x=6，y=3时S₁最大为18．

点评：本题考查基本不等式的实际应用．基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立．