Question

11．设f（x）是定义在R上的导函数恒大于零的函数，且满足$\frac{f（x）}{f'（x）}$+x＜1，则y=f（x）的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 由题意可得[（x-1）f（x）]′＜0，从而可判断当x≠1时，f（x）≠0，再检验f（1）即可．

解答 解：∵$\frac{f（x）}{f'（x）}$+x＜1，
∴f（x）+f′（x）x＜f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＜0，
∴[（x-1）f（x）]′＜0，
∴函数y=（x-1）f（x）在R上单调递减，
又∵（1-1）f（1）=0，
∴当x≠1时，（x-1）f（x）≠0，
∴当x≠1时，f（x）≠0，
当x=1时，$\frac{f（1）}{f′（1）}$+1＜1，
∴f（1）＜0；
故y=f（x）的零点个数为0；
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函数（x-1）f（x）．