题目内容

若 $数学公式$ （n为正整数），
求证：不等式　 $数学公式$ 对一切正整数n恒成立．

证明：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
∴不等式 $\text{[math]}$ 对一切正整数n恒成立．．
分析：先对式子： $\text{[math]}$ 的通项进行放缩： $\text{[math]}$ ，再左右两边分别求和，即可证得结论．
点评：本题考查不等式的证明（关键是去掉根式），以及数列求和、及放缩法．

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已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n=

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设T_n为数列{ns_n}的前n项和，求T_n．

（2011•昌平区二模）已知函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定义域内有且只有一个零点，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．若n∈N^*，f（n）是数列{a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_k•c_k+1＜0的正整数k的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令cn=1-

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数；
（Ⅲ）设Tn=

（n≥2且n∈N^*），使不等式

≤(1+T2)•(1+T3)…(1+Tn)•

恒成立，求正整数m的最大值．

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n-k（n∈N^*，k∈R）满足：对任意的正整数n都有b_n＜a_n，求k的取值范围
（3）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数．令cn=1-

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

（2010•上海模拟）已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n==

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和S_n．

（2009•越秀区模拟）已知{a_n}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n}满足等式：an=

（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和T_n．