题目内容
（2011•昌平区二模）已知函数f（x）=x2-ax+a（x∈R），在定义域内有且只有一个零点，存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．若n∈N*，f（n）是数列{an}的前n项和．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ck•ck+1＜0的正整数k的个数称为这个数列{cn}的变号数，令cn=1-
（n为正整数），求数列{cn}的变号数；
（Ⅲ）设Tn=
（n≥2且n∈N*），使不等式
≤(1+T2)•(1+T3)…(1+Tn)•
恒成立，求正整数m的最大值．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ck•ck+1＜0的正整数k的个数称为这个数列{cn}的变号数，令cn=1-
| 4 |
| an |
（Ⅲ）设Tn=
| 1 |
| an+6 |
| ||
| 30 |
| 1 | ||
|
分析：（I）由函数f（x）在定义域内有且只有一个零点，知△=a2-4a=0，得a=0或a=4．由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）法一：由题设cn=
，因为n≥3时，cn+1-cn=
-
=
＞0，所以n≥3时，数列{cn}递增．由此能够推导出数列{cn}变号数为3．
法二：由题设cn=
，知当n≥2时，令cn•cn+1＜0，得
•
＜0，解得n=2或n=4．由此能够推导出数列{cn}变号数为3．
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，Tn=
≤(1+
)(1+
)…(1+
)•
，转化为
≤
•
•
…
•
•
．由此入手能够推导出正整数m的最大值为5．
（II）法一：由题设cn=
|
| 4 |
| 2n-5 |
| 4 |
| 2n-3 |
| 8 |
| (2n-5)(2n-3) |
法二：由题设cn=
|
| 2n-9 |
| 2n-5 |
| 2n-7 |
| 2n-3 |
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，Tn=
| 1 |
| 2n+1 |
| ||
| 30 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
| ||
| 30 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 7 |
| 10 |
| 9 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+2 |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
解答：解：（I）∵函数f（x）在定义域内有且只有一个零点
∴△=a2-4a=0得a=0或a=4（1分）
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增故不存在0＜x1＜x2，
使得不等式f（x1）＞f（x2）成立 （2分）
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4．（3分）
∴Sn=n2-4n+4
∴an=Sn-Sn-1=
（4分）
（II）解法一：由题设cn=
∵n≥3时，cn+1-cn=
-
=
＞0
∴n≥3时，数列{cn}递增．
∵c4=-
＜0，
由1-
，得n≥5可知
即n≥3时，有且只有1个变号数；
又即∴此处变号数有2个
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3 （9分）
解法二：由题设cn=
当n≥2时，令cn•cn+1＜0，
得
•
＜0，
即
＜n＜
或
＜n＜
，
解得n=2或n=4．
又∵c1=-3，c2=5，
∴n=1时也有c1•c2＜0
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3…（9分）
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，Tn=
≤(1+
)(1+
)…(1+
)•
可转化为
≤
•
•
…
•
•
．
设g（n）=
•
•
…
•
•
，
则当n≥2且n∈N*，
=
=
•
=
=
＞
=
=
=1．
所以g（n+1）＞g（n），即当n增大时，g（n）也增大．
要使不等式
≤(1+T2)(1+T3)…(1+Tn)•
对于任意的n∈N*恒成立，
只需
≤g(n)min即可．
因为g(n)min=g(2)•
=
•
=
，
所以
≤
．
即 m≤
=5
所以，正整数m的最大值为5．（13分）
∴△=a2-4a=0得a=0或a=4（1分）
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增故不存在0＜x1＜x2，
使得不等式f（x1）＞f（x2）成立 （2分）
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4．（3分）
∴Sn=n2-4n+4
∴an=Sn-Sn-1=
|
（II）解法一：由题设cn=
|
∵n≥3时，cn+1-cn=
| 4 |
| 2n-5 |
| 4 |
| 2n-3 |
| 8 |
| (2n-5)(2n-3) |
∴n≥3时，数列{cn}递增．
∵c4=-
| 1 |
| 3 |
由1-
| 4 |
| 2n-5 |
即n≥3时，有且只有1个变号数；
又即∴此处变号数有2个
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3 （9分）
解法二：由题设cn=
|
当n≥2时，令cn•cn+1＜0，
得
| 2n-9 |
| 2n-5 |
| 2n-7 |
| 2n-3 |
即
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
解得n=2或n=4．
又∵c1=-3，c2=5，
∴n=1时也有c1•c2＜0
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3…（9分）
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，Tn=
| 1 |
| 2n+1 |
| ||
| 30 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
可转化为
| ||
| 30 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 7 |
| 10 |
| 9 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+2 |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
设g（n）=
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 7 |
| 10 |
| 9 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+2 |
| 2n+1 |
| 1 | ||
|
则当n≥2且n∈N*，
| g(n+1) |
| g(n) |
| ||||||||||||||
|
=
| 2n+4 |
| 2n+3 |
| ||
|
| 2n+4 | ||
|
=
| 2n+4 | ||
|
| 2n+4 | ||
|
| 2n+4 | ||
|
| 2n+4 |
| 2n+4 |
所以g（n+1）＞g（n），即当n增大时，g（n）也增大．
要使不等式
| ||
| 30 |
| 1 | ||
|
对于任意的n∈N*恒成立，
只需
| ||
| 30 |
因为g(n)min=g(2)•
| 1 | ||
|
| 6 |
| 5 |
| ||
| 7 |
6
| ||
| 35 |
所以
| ||
| 30 |
6
| ||
| 35 |
即 m≤
| 180 |
| 35 |
| 1 |
| 7 |
所以，正整数m的最大值为5．（13分）
点评：本题考查数列与不等式的综合，计算量大，解题时要认真审题，注意计算能力的培养．本题对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
练习册系列答案
相关题目