Question

已知双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为抛物线y²=12x的焦点，则该双曲线的标准方程为

x2

5

-

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：确定x²+y²-6x+5=0的圆心坐标与半径为2，利用双曲线的渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立方程，即可求得几何量，从而可求双曲线方程．

解答：解：x²+y²-6x+5=0的圆心坐标为（3，0），半径为2
∵双曲线的右焦点为抛物线y²=12x的焦点，
∴双曲线的右焦点为（3，0）
设双曲线的渐近线方程为bx±ay=0（a＞0，b＞0）
∵双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，
∴

|3b|

b2+a2

=2
∴3b=2c=6
∴b=2
∴a²=c²-b²=5
∴双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1
故答案为：

x2

5

-

y2

4

=1

点评：本题考查圆的标准方程，考查双曲线的几何性质，利用直线与圆相切是解题的关键．