Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB 于点F。

（1）求证：PA//平面EDB

(2)求证：PB平面EFD

（3）求二面角C-PB-D的大小

 

 

Answer 1

【答案】

本试题是考察立体几何中的空间中线面的位置关系，以及二面角的求解运算，对于线面的平行，可以通过线线平行来判定。而对于线面垂直的判定也用判定定理即可得到。二面角的求解，可以利用三垂线定理做出角，然后求解。

证明：解法一：（几何法）（I）连接AC，AC交BD于点G，连接EG，由三角形中位线定理，可得EG∥PA，由线面平行的判定定理可得：PA∥平面BDE；

（II）由已知中底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，我们可得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．

（III）由（II）中结论，可得PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，解三角形EFD即可得到答案．

解法二：（向量法）（I）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．分别求出PA，EG的方向向量，易判断PA与EG平行，进而由线面平行的判定定理得到答案．

（II）分别求出DE与PB的方向向量，由它们的数量积为0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．

（III）由（II）中结论，可得PB⊥FD．结合EF⊥PB，由二面的定义可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角，设点F的坐标为（x，y，z），由PF∥PB，DF⊥PB，构造方程求出点F的坐标，进而求出FD，FE的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-PB-D的平面角的大小．

如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．

又E为PC的中点，∴EG∥PA．∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．

又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．

∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．

由三垂线定理知，DE⊥PB．

∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．   …（8分）

（III）解：

∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB= ，DE=1/2PC=

∵PD⊥DB，

∴PB²=PD²+DB²=12

DF=PD•DB/PB=

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．

∵EF⊂平面PBC，∴DE⊥EF．

在Rt△DEF中，sin∠EFD=DEDF=

∴∠EFD=60°．

故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

【解析】略