Question

6．已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．
（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？
（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意知本题是一个分类计数问题，取4个红球，没有白球，有C₄⁴种，取3个红球1个白球，有C₄³C₆¹种；取2个红球2个白球，有C₄²C₆²种，根据加法原理得到结果．
（2）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．
（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，分两步，第一步先取球，第二步，再排，根据分步计数原理可得．

解答 解：：（1）将取出4个球分成三类情况：
①取4个红球，没有白球，C₄⁴种；
②取3个红球1个白球，C₄³C₆¹种；
③取2个红球2个白球，C₄²C₆²种，
∴C₄⁴+C₄³C₆¹+C₄²C₆²=115种，
（2）设x个红球y个白球，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5，（0≤x≤4）}\\{2x+y≥7，（0≤y≤6）}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴符合题意的取法种数有C₄²C₆³+C₄³C₆²+C₄⁴C₆¹=186种
（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，
第一步先取球，共有C₄³C₆²=60种，
第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A₃²A₂²A₃²=72
根据分步计数原理可得，60×72=4320种．

点评 本题考查分类分步计数原理，解题的关键是对于分类要做到不重不漏，准确的表示出结果．是一个中档题．