Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1，x=-2时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞

c2-10

2

恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=-2代入求出a、b即可；
（Ⅱ）求出函数的最小值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）＞

c2-10

2

，即可求出c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
因为函数在x=1，x=-2时都取得极值，
所以1，-2是3x²+2ax+b=0的两个根…（4分）
1-2=-

2a

3

，-2=

b

3

所以a=

3

2

，b=-6…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1）…（7分）

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	c+ 9 2		极大值c+10		极小值c- 7 2		c+2

所以f（x）在[-3，2]的最小值为c-

7

2

…（10分）
所以要使f(x)＞

c2-10

2

恒成立，则只要c-

7

2

＞

c2-10

2

即c²-2c-3＜0，解得-1＜c＜3…（12分）

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．