Question

设函数f（x）=（ax²-bx）e^x的图象与直线ex+y=0相切于点A，且点A的横坐标为1．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．

Answer 1

分析：（1）欲求a，b的值，利用在x=1处的切线斜率，只须求出其斜率的值，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后列式即得．从而问题解决．
（2）利用导数研究函数的单调区间，先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间．

解答：解：（1）f′（x）=（2ax-b）e^x+（ax²-bx）e^x=[ax²+（2a-b）x-b]e^x（2分）
由于f（x）的图象与直线ex+y=0相切于点A，点A的横坐标为1，则A（1，-e）
所以

f(1)=-e f′(1)=-e

（4分）
即

(a-b)e=-e (3a-2b)e=-e

解得a=1，b=2．（7分）

（2）由a=1，b=2，得f（x）=（x²-2x）e^x，定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=(x2-2)ex=(x-

2

)(x+

2

)ex.（9分）
令f'（x）＞0，解得x＜-

2

或x＞

2

；
令f'（x）＜0，解得-

2

＜x＜

2

．
故函数f（x）在区间(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)上分别单调递增，
在区间(-

2

，

2

)上单调递减．（13分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．