Question

设函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，写出理由．

Answer 1

分析：（1）设出两个有大小关系的自变量，作出两个函数值的差，将差变形判断出差的符号，得到两个函数值的大小，利用函数的单调性得证．
（2）利用函数为奇函数时，满足f（0）=0，列出方程求出a的值，将a的值代入检验函数的奇偶性．

解答：解：（1）设x₁＜x₂则
f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂
∴2x2-2x1＞0
又2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）单调递增
（2）若函数为奇函数，则有f（0）=0即a-

1

2

=0
∴a=

1

2

将a=

1

2

代入f（x），满足f（-x）=-f（x）

点评：利用函数的单调性判断函数的单调性，一定注意将函数值的差变形为几个因式的积或数的平方和形式，再判断出差的符号．