Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围

1. A.
   （-∞，1）
2. B.
   （-∞，2）
3. C.
   （-∞，1]
4. D.
   （-∞，2]

Answer 1

D
分析：不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1），即2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），令h（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可，从而可求实数a的取值范围．
解答：∵f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，
∴2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′（x）=2-≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选D．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．