Question

（06年江西卷文）（12分）

如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若在的方程中，令，．

设轨迹的最高点和最低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？

Answer 1

解析：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）

上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

     

\b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因为轨迹H的方程可化为：

\M（，），N（ ，－），F（c，0），使△MNF为一个正三角形时，则

tan＝＝，即a²＝3b². 由于，

，则1＋cosq＋sinq＝3 sinq，得q＝arctan