题目内容
如图，游客在景点A处下山至C处有两条路径．一条是从A沿直道步行到C，另一条是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直道步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，索道AB长为1040m，经测量，cosA=| 12 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅰ） 求山路AC的长；
（Ⅱ） 假设乙先到，为使乙在C处等待甲的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
分析：（Ⅰ）依题意，可求得sinA与sinC，从而可求得sinB；在△ABC中，利用正弦定理即可求得山路AC的长；
（Ⅱ）由正弦定理
=
可求得BC=500m，可求得甲共用时间与乙索道所用时间，设乙的步行速度为 vm/min，依题意，解不等式0＜
-（2+1+8+
）≤3即可．
（Ⅱ）由正弦定理
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| 126 |
| 5 |
| 500 |
| v |
解答：解：（Ⅰ）∵cosA=
，cosC=
，
∴A、C∈（0，
），
∴sinA=
，sinC=
，
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
，
根据
=
得AC=
sinB=
•
=1260m，
∴山路AC的长为1260米．
（Ⅱ）由正弦定理
=
得BC=
sinA=
×
=500m，
甲共用时间：
=
，乙索道所用时间：
=8，
设乙的步行速度为 vm/min，由题意得0＜
-（2+1+8+
）≤3，
整理得0＜
-
≤3，
∴
＜v＜
，
∴为使乙在C处等待甲的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（
，
）m/min内．
| 12 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
∴A、C∈（0，
| π |
| 2 |
∴sinA=
| 5 |
| 13 |
| 4 |
| 5 |
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
| 63 |
| 65 |
根据
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
| AB |
| sinC |
| 1040 | ||
|
| 63 |
| 65 |
∴山路AC的长为1260米．
（Ⅱ）由正弦定理
| BC |
| sinA |
| AC |
| sinB |
| AC |
| sinB |
| 1260 | ||
|
| 5 |
| 13 |
甲共用时间：
| 1260 |
| 50 |
| 126 |
| 5 |
| 1040 |
| 130 |
设乙的步行速度为 vm/min，由题意得0＜
| 126 |
| 5 |
| 500 |
| v |
整理得0＜
| 71 |
| 5 |
| 500 |
| v |
∴
| 2500 |
| 71 |
| 625 |
| 14 |
∴为使乙在C处等待甲的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（
| 2500 |
| 71 |
| 625 |
| 14 |
点评：本题考查正弦定理的应用，考查分析、推理与运算能力，（Ⅱ）中得到不等式0＜
-（2+1+8+
）≤3是关键，也是难点，考查解决问题的能力，属于难题．
| 126 |
| 5 |
| 500 |
| v |
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如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=
，
．
，cosC=
