Question

如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客同时从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=

12

13

，cosC=

3

5

．
（1）求索道AB的长；
（2）为使乙游客在C处赶在甲游客前面先到达，乙步行的速度至少应为多少？（结果保留到个位）

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的关系，算出sinA=

5

13

，sinC=

4

5

，从而得到sinB=sin（A+C）=

63

65

．再在△ABC中利用正弦定理加以计算，即可得到索道AB的长；
（2）根据山路AC长和甲沿步行速度算出甲到达C处所需的时间约为25.2min，同理算出缆车从A到B所需时间为8min．设乙步行的速度为vm/min，由正弦定理算出BC=500m，从而得出乙从B到C所需时间为

500

v

min，再结合题意建立关于v的不等式，解之得v≥30.9vm/min，即可得到乙步行的速度至少为31m/min．

解答：解：（1）∵cosA=

12

13

，cosC=

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

13

，sinC=

1-cos2B

=

4

5

可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

63

65

由正弦定理

AB

sinC

=

AC

sinB

，得AB=

ACsinC

sinB

=

1260× 4 5

63 65

=1040m
即索道AB的长等于1040m；
（2）∵山路AC长为1260m，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min
∴甲到达C处所需的时间为

1260

50

=25.2min
∵索道AB的长等于1040m，缆车匀速直线运动的速度为130m/min
∴缆车从A到B所需时间为

1040

130

=8min
设乙步行的速度为vm/min，由正弦定理算出BC=

ACsinA

sinB

=

1260× 5 13

63 65

=500m，
得乙从B到C所需时间为

500

v

min
结合题意，得8+1+

500

v

≤25.2，解之得v≥30.9vm/min，
精确到整数，可得乙步行的速度至少为31m/min．

点评：本题给出实际应用问题，求索道的长并研究甲乙二人到达时间的问题．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理解三角形和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．