Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-Kx²（其中k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当k∈[0，+∞）时，证明函数f（x）在R上有且只有一个零点．

Answer 1

分析：（1）将k=1代入得到f（x）的解析式，令导函数f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可得到f（x）的单调区间，根据极值的定义，即可得到函数的极值；
（2）根据x＜1时，f（x）在（-∞，1）上无零点，转化成证明f（x）在[1，+∞）有且只有一个零点，对k分类讨论，分别研究函数的单调性与极值的取值，判断即可证明结论．

解答：解：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x=x（e^x-2），
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln2，
当x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜ln2时，f′（x）＜0，则f（x）在（-∞，0）上单调递减，
当x＞ln2时，f′（x）＞0，则f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴当f（x）的单调递减区间为（0，ln2），单调递增区间为（-∞，0）和（ln2，+∞），
极大值为f（0）=-1，极小值为f（ln2）=-（ln2）²+2ln2-2；
（2）证明：∵f（x）=（x-1）e^x-Kx²（其中k∈R）．
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
当x＜1时，f（x）＜0，则f（x）在（-∞，1）上无零点，
∴只需证明函数f（x）在[1，+∞）上有且只有一个零点，
①若k∈[0，

e

2

]，
当x≥1时，f′（x）≥0，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵f（1）=-k≤0，f（2）=e²-4k≥e²-2e＞0，
∴f（x）在[1，+∞）有且只有一个零点；
②若k∈（

e

2

，+∞），则f（x）在[1，ln2k）上单调递减，（ln2k，+∞）上单调递增，
∵f（1）=-k＜0，f（k+1）=ke^k+1-k（k+1）²=k[e^k+1-（k+1）²]，
令g（t）=e^t-t²，t=k+1＞2，则g′（t）=e^t-2t，g″（t）=e^t-2，
∵t＞2，则g″（t）＞0，g′（t）在[2，+∞）上单调递增，
∴g′（t）≥g′（2）=e²-4＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上单调递增，g（t）≥g（2）=e²-4＞0，
∴f（k+1）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上有且只有一个零点，
综上所述，f（x）在R上有且只有一个零点．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．