Question

【题目】已知△ABC为等腰直角三角形， ， ， 分别是边和的中点，现将沿折起，使平面， 分别是边和的中点，平面与， 分别交于， 两点．

(1)求证： ；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析，(2) ；(3) ．

【解析】试题分析：（1）ED∥平面BCH，ED∥HI，又因为ED∥BC，所以IH∥BC；（2）建立空间直角坐标系，n1＝(1，－1,1)，n2＝(0,1,2)，求出二面角；（3）＝λ，由·n2＝0，解得λ＝，所以AG＝AF＝＝.

试题解析：

(1)证明：因为D，E分别是边AC和AB的中点，所以ED∥BC.

因为BC平面BCH，ED平面BCH，所以ED∥平面BCH.

因为ED平面BCH，ED平面AED，平面BCH∩平面AED＝HI，所以ED∥HI.

又因为ED∥BC，所以IH∥BC.

(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意得，D(0,0,0)，E(2，0,0)，A(0,0,2)，F(3,1,0)，C(0,2,0)，H(0,0,1)，B(4,2,0)，＝(－2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0，－2，1)，＝＝(1,0,0)．

设平面AGI的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则

令z1＝1，解得x1＝1，y1＝－1，则n1＝(1，－1,1)．

设平面CIG的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则

令z2＝2，解得y2＝1，则n2＝(0,1,2)．

所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以二面角A－GI－C的余弦值为.

(3)由(2)知，＝(3,1，－2)，

设＝λ＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，

则＝－＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由·n2＝0，解得λ＝，

故AG＝AF＝＝.