题目内容

已知A、B为抛物线y2=2px(p＞0)上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程是(    )

A.x=p          B.x=3p           C.x=p             D.x=p

解析:设A(a,),则B(a,-).

又F(,0),由条件OA⊥BF,

即=0,

∴a(a-)-2pa=0.

∵a≠0,两边除以a得a=p,

∴AB:x=p.

答案:C


练习册系列答案
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已知
a
，
b
为非零向量，函数f(x)=(x
a
+
b
)•(
a
-x
b
)，则使f（x）的图象为关于y轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是（　　）
A、
a
⊥
b
B、
a
∥
b
C、|
a|
=|
b
|
D、
a
=
b
已知A、B是抛物线y2=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．
（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；
（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x-y=0的距离的最小值．
（2009•青浦区二模）（理）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0=5，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
（2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
（1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0＞2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．
已知A，B是抛物线x2=2py（p＞0）上的两个动点，O为坐标原点，非零向量
OA
， 
OB
满足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|．
（Ⅰ）求证：直线AB经过一定点；
（Ⅱ）当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
2
5
5
时，求p的值．

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