Question

如图所示，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为，A₁C₁的中点为D．

(1)求证BC₁∥平面AB₁D；

(2)求二面角A₁—B₁D—A的大小；

(3)求点B到平面AB₁D的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连结A1B，设A1B与AB1相交于点O，则O为A1B的中点，连结DO，因为D为A1C1的中点，所以DO为△A1BC1的中位线，∴DO∥BC1，又DO平面AB1D，BC1平面AB1D，所以BC1∥平面AB1D． 　　(2)由题意知，B1D是正三角形A1B1C1的中线，∴A1C1⊥B1D． 　　在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AD⊥B1D 　　∴∠ADA1是二面角A1—B1D—A的平面角． 　　在Rt△ADA1中，tan∠ADA1＝＝，∴∠ADA1＝． 　　(3)因为O为A1B的中点，所以点B到平面AB1D的距离等于点A1到平面AB1D的距离．由(2)可知，B1D⊥平面AA1CC1，∴平面AB1D⊥平面AA1CC1，且平面AB1D∩平面AA1CC1＝AD．过点A1作A1H⊥AD于H，则A1H⊥平面AB1D，所以线段A1H的长度就是点A1到平面AB1D的距离． 　　在Rt△AA1D中，A1H＝＝，即点B到平面AB1D的距离是．