Question

已知4^x-5·2^x+4≤0，求函数y=()^x-4()^x+2的最值.

Answer 1

思路解析：根据题设4^x-5·2^x+4≤0可以求出x的取值范围，也就是函数y=()^x-4()^x+2的定义域，用换元法再把已知函数转化为二次函数即可求出最值，但要注意换元时新元的取值范围.

解：由已知，4^x-5·2^x+4≤0，

(2^x-1)(2^x-4)≤0,1≤2^x≤4,

∴0≤x≤2.

令t=()^x,则()²≤t≤()⁰,

即≤t≤1.

y=t²-4t+2=(t-2)²-2.

函数的图象是开口向上，对称轴为t=2的抛物线(如下图所示).

∵t∈［,1］,

∴当t=,即x=2时，函数有最大值，为y=(-2)²-2=;

当t=1,即x=0时，函数有最小值，为y=(1-2)²-2=-1.