Question

已知函数f（x）=log₂x的定义域为A={x|4^x-5•2^x+4＜0}，求函数g（x）=[f（x）]²-f（2x）-3的值域．

Answer 1

分析：由已知条件，利用指数函数的性质，求出0＜x＜2，由此得到f（x）=log₂x∈（-∞，1），再利用配方法能求出函数g（x）=[f（x）]²-f（2x）-3的值域．

解答：解：∵A={x|4^x-5•2^x+4＜0}
={x|1＜2^x＜4}
={x|0＜x＜2}，
∴f（x）=log₂x∈（-∞，1），
∴g（x）=[f（x）]²-f（2x）-3
=（log₂x）²-log₂2x-3
=(log2x)2-log2x-4
=（log₂x-

1

2

）²-

17

4

，
∴当log2x=

1

2

时，g（x）_min=-

17

4

；
当log₂x→-∞时，g（x）_max→+∞，
∴函数g（x）=[f（x）]²-f（2x）-3的值域为[-

17

4

，+∞）．

点评：本题考查函数的值域的求法，涉及到指数函数、对数函数等知识点，解题时要注意配方法的合理运用，是中档题．