Question

2．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$．
（1）求函数y=f（x）的零点的集合；
（2）若对于t∈[1，2]时，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若0≤x≤2，求函数h（x）=2^x[f（x）+a]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）利用零点的定义，f（x）=0即2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$=0，讨论x值，去绝对值求解即可；
（2）化简得：（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）（4^t+1+m）≥0恒成立，根据t的范围可得4^t+1+m≥0恒成立，只需求-（4^t+1）的最大值；
（3）整理可得h（x）=2^x[f（x）+a]，构造函数h（t）=（t+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，利用二次函数性质，对对称轴讨论求出最小值．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）f（x）=0即2^x-$\frac{1}{{{2^{|x|}}}}$=0，
当x≥0时，2^x-$\frac{1}{2^x}$=0，去分母得4^x-1=0，∴x=0…（1分）
当x＜0时，2^x-$\frac{1}{{{2^{-x}}}}$=0恒成立，∴x＜0…（3分）
综上：函数y=f（x）的零点的集合为{x|x≤0}…（4分）
（2）化简得：（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）（4^t+1+m）≥0恒成立，
∵t∈[1，2]，
∴：2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，
∴4^t+1+m≥0恒成立，
∴m≥-（4^t+1），
∵-（4^t+1）的最大值为-5，
∴m≥-5；
（3）h（x）=2^x[f（x）+a]
=（2^x）²+a2^x-1，
令t=2^x，1≤t≤4，
∴h（t）=（t+$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
当a＜-8时，g（a）=h（4）=4a+15，
当-2＞a≥-8时，g（a）=h（-$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
当a≥-2时，g（a）=h（1）=a．

点评 考查了函数零点的定义，恒成立问题和构造函数求闭区间二次函数的最小值．