Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，点E满足．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AE-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证PA⊥平面ABCD，只需证明PA垂直平面ABCD内的两条相交直线CD、CB即可；也可以利用空间直角坐标系，向量的数量积为0来证明垂直；
（2）在平面PAD中，过E作EF∥PA，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连接EG，说明∠EGF为二面角E-AC-D的平面角，然后求二面角E-AE-D的余弦值．也可以利用法向量的数量积来解它的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）正方形ABCD中，CD⊥AD，
又CD⊥PD，
所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PA（2分）
又CB⊥AB，CB⊥PB
∴CB⊥平面PAB
∴CB⊥PA（4分）
又CB∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD（5分）

（Ⅱ）方法一：
在平面PAD中，过E作EF∥PA，交AD于F，过F作AC的垂线，垂足为G，连接EG，
∵EF∥PA，PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥AC
又∵AC⊥FG，
∴AC⊥平面EGF
故EG⊥AC，
所以∠EGF为二面角E-AC-D的平面角（9分）
又EF=，在△ACD中，FG=
∴EG=（11分）
∴（12分）

方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），E（），=（2，2，0），=（）（7分）
设平面ACE的法向量，
则即取（9分）
又平面ACD的法向量为=（0，0，2）（10分）
∴（11分）
由图可知，二面角的平面角为锐角，
∴二面角E-AC-D的余弦值为（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．