Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析： 先求出导函数，结合定义域分类讨论、时的单调性(2)转化为最小值大于，结合(1)中结果，分别求出最小值即可算出实数的取值范围

解析：（1）由题得， 的定义域为，

当时， 恒成立，

故在区间上单调递减，无递增区间；

当，由，得，

由，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）若恒成立，

即在区间上的最小值大于等于0，

由（1）可知，当时， 恒成立，

即在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，故，

当时，

若，即时， 对恒成立，

所以在区间 上单调递减，

则在区间上的最小值为，

显然的区间上的最小值大于等于0成立.

②若，即时，则有

	-	0	+
		极小值

所以在区间上的最小值为，

由，得，

解得，即.

综上所述，实数的取值范围是.