Question

已知a、b、c是△ABC的三条边，它们所对的角分别是A、B、C，若a、b、c成等比数列，且a²-c²=ac-bc，试求
（1）角A的度数；
（2）求证：sin²B=sinAsinC；
（3）求

bsinB

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由a、b、c成等比数列，可求得b²=ac，再利用余弦定理可求得cosA，从而可得角A的度数；
（2）由b²=ac，利用正弦定理即可证得sin²B=sinAsinC；
（3）由b²=ac，利用正弦定理可求得

bsinB

c

=

asinB

b

=sinA，从而可得答案．

解答：解：（1）∵a、b、c成等比数列，
∴b²=ac，
∵a²-c²=ac-bc，
∴a²-c²=b²-bc，
∴b²+c²-a²=bc
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
又∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

  （7分）
（2）∵b²=ac，
∴（2RsinB）²=（2RsinA）（2RsinC），
∴sin²B=sinAsinC （10分）
（3）∵b²=ac，
∴

b

c

=

a

b

，
∴

bsinB

c

=

asinB

b

=sinA=

3

2

．（16分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，（3）中由b²=ac，利用正弦定理可求得

bsinB

c

=

asinB

b

=sinA是难点，考查转化思想，属于中档题．