题目内容
某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：P=
已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元，厂方希望定出适当的日产量．
（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；
（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；
（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？
|
已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损
| A |
| 2 |
（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；
（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；
（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？
分析：（1）分别求出当x＞94时，合格品的赢利总额与次品的亏损总额，两者比较可得生产这种仪器能否赢利；
（2）分别求出每日生产的合格品数与次品数，然后根据每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（
），整理即可得到；
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利，然后求出当1≤x≤94时生产这种仪器每天的赢利额T（元）的函数解析式，最后利用基本不等式可求出最值，从而求出所求．
（2）分别求出每日生产的合格品数与次品数，然后根据每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（
| A |
| 2 |
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利，然后求出当1≤x≤94时生产这种仪器每天的赢利额T（元）的函数解析式，最后利用基本不等式可求出最值，从而求出所求．
解答：解：（1）当x＞94时，p=
，由题意可知，每日生产的合格品约为
x件，次品约为
x件，合格品共可赢利
xA元，次品共亏损
x•
=
xA元．
因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利．
（2）当1≤x≤94时，p=
，
∵每日生产的合格品约为x（1-
）件，次品约为
件，
∴T=x（1-
）A-
•
=[x-
]A（1≤x≤94）．
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利．
当1≤x≤94时，T=（x+
-
）A=[97
-（96-x）-
]A．
∵x≤94，96-x＞0，
∴T≤[97
-2
]A=
A＞0
当且仅当（96-x）=
时，即x=84时，等号成立．
故要获得最大利润，日产量应为84件．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| A |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利．
（2）当1≤x≤94时，p=
| 1 |
| 96-x |
∵每日生产的合格品约为x（1-
| 1 |
| 96-x |
| x |
| 96-x |
∴T=x（1-
| 1 |
| 96-x |
| x |
| 96-x |
| A |
| 2 |
| 3x |
| 2(96-x) |
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利．
当1≤x≤94时，T=（x+
| 3 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
| 1 |
| 2 |
| 144 |
| 96-x |
∵x≤94，96-x＞0，
∴T≤[97
| 1 |
| 2 |
(96-x)•
|
| 147 |
| 2 |
当且仅当（96-x）=
| 144 |
| 96-x |
故要获得最大利润，日产量应为84件．
点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
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