Question

已知命题“p：?x∈[1，2]，x²-a≥0”命题q：“?x₀＞0，x₀²+2ax₀+2-a=0”是否存在实数a，使“命题p∧q”为真命题，若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：求出命题p为真命题的a的范围，再通过分类讨论求出q为真命题的a的范围，“命题p∧q”为真命题，即命题q 命题p都是真命题，写出a的范围．

解答：解：已知命题“p：?x∈[1，2]，x²-a≥0”为真，
则x²≥a在[1，2]恒成立，
∵x²≥1
∴a≤1
命题q：“?x₀＞0，x₀²+2ax₀+2-a=0为真
令f（x）=x²+2ax+2-a=0在（0，+∞）上有解
1⁰：2-a=0即a=2，原式为：x²+4x=0不满足题意
2⁰：一正一负根
f（0）＜0即2-a＜0即a＞2
3⁰：两个正根

△=(2a)2-4(2-a)≥0 x1+x2=-2a＞0 x1x2=2-a＞0

a≥1或a≤-2 a＜0 a＜2

∴a≤-2
由以上可得：a≤-2或a＞2
“命题p∧q”为真命题，
即命题q 命题p都是真命题

a≤1 a≤-2或a＞2

∴a≤-2

点评：本题是一道综合题，主要利用命题的真假关系，将复合命题的真假转化为简单命题的真假来解决．