Question

已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=-.

（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性；

（2）求y=f(x)的值域；

（3）求不等式f(x)＞的解集.

Answer 1

解：（1）设 x₁＜x₂＜0，则

∵f(x₁)-f(x₂)=- ==，

∴f(x₁)＜f(x₂)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.

（2）∵0＜=≤，

∴当x≤0时，

f(x)=-∈(-,0]；

当x＞0时，f(x)=-+1∈(0,).

综上得y=f(x)的值域为(-,).

（3）∵f(x)=(-,)，

又∵f(x)＞，

∴f(x)∈(,)，此时f(x)=-(x＞0)，

令-＞，即＜3²x-6·3^x+1＞03^x＞3+2x＞log₃(3+2)，

∴不等式 f(x)＞的解集是(log₃(3+2),+∞).