题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，AC=| 2 |
（1）求直线B1C与平面ABB1A1所成角的大小；
（2）求二面角A-B1C-B的大小．
分析：（1）由直三棱柱性质可得，∠CB1A为直线B1C与平面ABB1A1所成的角，解直角三角形可求此角的大小．
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，过M做MN⊥B1C，垂足为N，由三垂线定理可证∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，解直角三角形可求此角的大小．
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，过M做MN⊥B1C，垂足为N，由三垂线定理可证∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，解直角三角形可求此角的大小．
解答：
解：（1）由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∴∠CB1A为直线B1C与平面ABB1A1所成的角．
由AB=BB1=1，可得AB1=
．
又AC=
，∴tanCB1A=
=1．
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的大小为45°．（7分）
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，
过M做MN⊥B1C，垂足为N，连接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC1B1，
由三垂线定理，可知AN⊥B1C，
∴∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，
又AM=
=
，AN=
=1
∴sinANM=
=
∴二面角A-B1C-B的大小为arcsin
（14分）
解：（1）由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∴∠CB1A为直线B1C与平面ABB1A1所成的角．
由AB=BB1=1，可得AB1=
| 2 |
又AC=
| 2 |
| AB |
| AB1 |
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的大小为45°．（7分）
（2）过A做AM⊥BC，垂足为M，
过M做MN⊥B1C，垂足为N，连接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC1B1，
由三垂线定理，可知AN⊥B1C，
∴∠ANM为二面角A-B1C-B的平面角，
又AM=
| AB•AC |
| BC |
| ||
| 3 |
| AB1•AC |
| B1C |
∴sinANM=
| AM |
| AN |
| ||
| 3 |
∴二面角A-B1C-B的大小为arcsin
| ||
| 3 |
点评：本题考查线面角、二面角的求法．
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