题目内容

2．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据（单位均为cm）作为一个样本如下表所示：
脚掌长（x）
 		20212223242526272829
身高（y）141146154160169176181188197203
（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现三点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+a
（2）若某人的脚掌长为26cm，试估计此人的升高；
（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人在190cm以上的概率． 
参考数据：$\sum_{i=1}^{10}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=577.5，$\sum_{i=1}^{10}$（xi-$\overline{x}$）2=82.5）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\overline{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{1}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

分析 （1）求出样本中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），利用公式求出$\stackrel{∧}{b}$与$\stackrel{∧}{a}$的值，即可写出线性回归方程；
（2）根据线性回归方程求出x=26.5时$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）用列举法求出从身高180cm以上4人中随机抽取2人的基本事件数，计算所求的概率值．

解答 解：（1）记样本中10人的“脚掌长”为xi（i=1，2，3，…，10），
“身高”为yi（i=1，2，3，…，10），
则$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（20+21+…+29）=24.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×（141+146+…+203）=171.5；
∵$\sum_{i=1}^{10}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=577.5，$\sum_{i=1}^{10}$（xi-$\overline{x}$）2=82.5，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{577.5}{82.5}$=7；---（3分）
∴$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=171.5-7×24.5=0，--（4分）
所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=7x---（5分）
（2）由（1）知$\stackrel{∧}{y}$=7x，--------（6分）
当x=26.5时，$\stackrel{∧}{y}$=7×26.5=185.5，
故估计此人的身高为185.5；---（7分）
（3）将身高为181、188、197、203（cm）的4人分别记为A、B、C、D，---（8分）
记“从身高180cm以上4人中随机抽取2人，
所抽的2人中至少有1个身高在190cm以上”为事件A，
则基本事件有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，总数为6，---（10分）
A包含的基本事件有：AC、AD、BC、BD、CD，个数为5，
所以P（A）=$\frac{5}{6}$．---（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．

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